Profilo del prof. Louis Nirenberg e motivazioni formulate dal consiglio della Facolta di scienze matematiche, fisiche e naturali

Il prof. Louis Nirenberg, attualmente professore al Courant Institute of Mathematical Sciences della New York University, è un matematico di fama e prestigio internazionale.

Nato a Hamilton (Canada) il 28 febbraio 1925, ha svolto i suoi studi a Montreal e ha ottenuto il B.Sc. in Matematica e Fisica alla Mc Gill University nel 1945. Trasferitosi a New York, ha studiato alla New York University - in quello che oggi è denominato Courant Institute of Mathematical Sciences, e che allora era stato da poco fondato da Richard Courant - dove ha conseguito il M.Sc. in Matematica nel 1947 e il Ph.D. in Matematica nel 1949. Presso il Courant Institute, dove è professore di Matematica dal 1958, Nirenberg ha trascorso tutta la sua carriera scientifica.

Tra gli importanti riconoscimenti ricevuti da Nirenberg, di particolare importanza il premio Bochner (1959) della American Mathematical Society, l’elezione alla National Academy of Sciences degli Stati Uniti (1970), il premio Crafoord (1982), destinato da una fondazione svedese a premiare scienziati di quei settori, come la Matematica, non considerati per il premio Nobel.

Il prof. Nirenberg è internazionalmente riconosciuto come uno dei maggiori matematici viventi e come uno dei massimi esperti nel campo delle equazioni alle derivate parziali, dove ha ottenuto risultati assolutamente fondamentali. Ma alla profondità e alla vastità dei risultati ottenuti, Nirenberg unisce poi una cultura matematica estesissima, che gli ha permesso di utilizzare con magistrale abilità idee e tecniche geometriche nelle dimostrazioni dei teoremi dell’analisi matematica, e un mai sopito interesse per le applicazioni dell’analisi matematica ai problemi della geometria differenziale e della fisica matematica, che lo hanno costantemente guidato ed indirizzato nella sua attività di ricerca.

Illustrando l’attività di ricerca del prof. Nirenberg, iniziamo dalla sua tesi di dottorato, preparata sotto la guida di K.O. Friedrichs e J.J. Stoker: essa verteva su un problema di H. Weyl relativo alla possibilità di rappresentare una varietà chiusa bidimensionale, con metrica data avente curvatura di Gauss positiva, come superficie convessa regolare in uno spazio tridimensionale. Nirenberg riuscì a completare la dimostrazione di Weyl: il punto cruciale della dimostrazione era lo studio di alcune equazioni alle derivate parziali e da qui nacque l’interesse di Nirenberg per la teoria delle equazioni alle derivate parziali che è rimasto poi il fulcro di tutta la sua attività di ricerca.

Ancora studente, Nirenberg perfezionò il principio di massimo per l’equazione del calore. Questo risultato venne applicato e ulteriormente sviluppato da altri ricercatori, ed è tutt’ora uno strumento di grande utilità. Inoltre, in collaborazione con S. Agmon e M. Protter, Nirenberg trovò una particolare forma di principio del massimo per certe equazioni iperboliche nel piano: risultato abbastanza sorprendente, che era stato motivato da problemi applicativi concernenti le equazioni ellittico-iperboliche dell’aerodinamica. Con P. Lax, in anni più recenti, Nirenberg ha dato importanti risultati di propagazione delle singolarità in problemi iperbolici misti. Nel decennio 1950-60 iniziò nella matematica l’approccio sistematico allo studio dei problemi al contorno per sistemi lineari ellittici di ordine qualsiasi. Parecchi autori avevano studiato la regolarità delle soluzioni all’interno del dominio di definizione. Nirenberg riuscì a dimostrare la regolarità della soluzione fino alla frontiera del dominio, dando un contributo fondamentale alla teoria. Citiamo per esempio i risultati di analiticità al bordo per sistemi ellittici, ottenuti in collaborazione con Ch.B. Morrey Jr. In seguito, in due celebri articoli scritti in collaborazione con S. Agmon e A. Douglis, sviluppò la teoria dei sistemi lineari ellittici con condizioni al contorno molto generali.

Nel 1963 Agmon e Nirenberg estesero i risultati sopra citati ad equazioni differenziali in uno spazio di Banach, ottenendo fondamentali teoremi di esistenza, unicità, regolarità e stabilità, con importanti applicazioni a problemi ellittici e parabolici.

Risultati di regolarità fin sul bordo per altre classi di problemi lineari e non lineari sono stati ottenuti da Nirenberg anche in anni più recenti: ad esempio, in collaborazione con D. Kinderlehrer, l’analiticità nei problemi con frontiera libera; in collaborazione con L. Caffarelli e J. Spruck, per l’equazione reale di Monge-Ampère e per il problema di Dirichlet per le ipersuperfici di Weingarten.

Un altro genere di problemi, in cui Nirenberg ha dato risultati divenuti fondamentali, viene dallo studio del sistema di equazioni di Cauchy-lliemann nella teoria delle funzioni di più variabili complesse. Importantissimi a questo riguardo gli articoli in collaborazione con A. Newlander del 1957 e con K. Kodaira e D.C. Spencer nel 1958. Prima di essi, all’inizio della sua carriera, Nirenberg aveva studiato, in collaborazione con L. Bers, le applicazioni quasi conformi con metodi di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. Più recentemente Nirenberg è ritornato alla problematica dell’analisi complessa, studiando con J.J. Kohn, L. Caffarelli e J. Spruck l’equazione complessa di Monge-Ampère.

Ancora un problema diverso, affrontato da Nirenberg negli anni ’60, è quello degli operatori pseudodifferenziali. Nel 1965, in collaborazione con J.J. Kohn, egli estese la teoria di Calderon e Zygmund aprendo un nuovo campo di ricerca: gli operatori pseudodifferenziali. Qualche anno dopo, utilizzando queste tecniche, Nirenberg e J.F. Treves determinarono condizioni necessarie e sufficienti affinché equazioni differenziali alle derivate parziali lineari omogenee ammettono solo soluzioni locali banali.

Importanti, lungo tutto l’arco della sua attività, i contributi di Nirenberg alla geometria differenziale: sin dall’inizio, con teoremi sul problema di Plateau e sul problema di Bernstein, fino ai tempi più recenti con lo studio dell’equazione di Monge-Ampère reale e complessa in collaborazione con L. Caffarelli e J. Spruck e dei problemi geometrici associati.

Nel 1970 Nirenberg presentò una prima applicazione della teoria di Leray e Schauder a problemi ellittici non lineari, contribuendo così a diffondere l’uso di tecniche topologiche in analisi. In questa direzione si deve ricordare: il lavoro, in collaborazione con H. Brezis, nel quale si sviluppano metodi generali per lo studio della somma di operatori in uno spazio di Hilbert, ad esempio un operatore lineare ellittico e un operatore non lineare, con applicazioni ad una vasta gamma di problemi concreti; la dimostrazione, in collaborazione con H. Brezis e J.M. Coron, dell’esistenza di soluzioni periodiche, sia libere che forzate, di equazioni iperboliche non lineari, mediante un elegante metodo analitico-topologico. Gli ormai celebri risultati, in collaborazione con B. Gidas e W.M. Ni, sulla simmetria delle soluzioni di equazioni ellittiche non lineari, hanno dato origine allo studio, oggi in pieno sviluppo, sia delle proprietà geometriche delle soluzioni delle equazioni differenziali non lineari, sia delle equazioni della fisica matematica.

Raffinate tecniche di teoria geometrica della misura hanno permesso a Nirenberg, in collaborazione con R. Kohn e L. Caffarelli, di dare un contributo fondamentale alla teoria delle equazioni di Navier-Stokes, dimostrando che le singolarità delle soluzioni globali di queste equazioni hanno, nello spazio-tempo, dimensione geometrica strettamente minore di 1. Questo implica che una singolarità puntuale (nello spazio) della soluzione non può sussistere nel tempo perché darebbe origine ad una curva singolare di dimensione 1 nello spazio-tempo.

Si nota facilmente come Nirenberg lavora assai volentieri in collaborazione con altri matematici, aiutato dalla sua vastissima cultura. I suoi interessi sono rivolti soprattutto alla ricerca di metodi generali che si possano applicare a vari problemi concreti, spesso provenienti dalla fisica matematica o dalla geometria, e che abbiano un carattere unificatore di diversi risultati e teorie.

Nirenberg è stato certamente uno dei maggiori promotori dello sviluppo moderno della teoria delle equazioni alle derivate parziali e delle sue applicazioni: la sua lunga presenza al Courant Institute ha indubbiamente contribuito a fare di questo istituto il centro di ricerca forse di maggior prestigio in tutto il mondo in questo campo. Oltre che matematico insigne, Nirenberg è uomo di profondi e vasti interessi culturali. Particolarmente interessato alla cultura italiana (comprende perfettamente e parla l’italiano), sia nelle espressioni classiche (storia, arti figurative), sia per gli aspetti moderni (il cinema, ad esempio, di cui è un grande appassionato), dal 1957 Nirenberg visita periodicamente l’Italia e collabora attivamente con matematici italiani, in particolare con quelli della scuola pisana con cui ha rapporti scientifici di lunga data.

Da: Laurea honoris causa in Matematica al prof. Louis Nirenberg. Pisa, Università degli studi di Pisa, 1990.